직선성 회귀분석에서 상관계수와 잔차

직선성(Linearity)이란 검체 중 분석 대상물질의 양(또는 농도)에 비례하여 일정 범위 내에 직선적인 측정값을 얻어낼 수 있는 능력을 말한다. 즉 x축(농도)의 변화에 따른 y축(측정값)의 변화를 예측하고 이를 수학적 수식에 따라 표현하는 것이며 실제 분석을 진행했을 때 이 예측값에 따라 나온다면 이 시험방법은 직선성을 가진다고 말할 수 있다.

 

통계학적 이론은 방대하고 어렵기 때문에 모두 알 필요는 없지만 직선성을 표현하는 방식과 이를 평가하는 방법은 알고 있어야 밸리데이션에 활용이 가능하다.

 

우선 직선성은 자료들 간의 관계성을 수학적으로 나타내는 통계적 분석인 '회귀 분석' 모형 중 x와 y 각 한 개의 변수를 보는 '단순 선형 회귀'를 활용한다. 직선성은 y=ax+b로 표현되는 선형 회귀 직선을 가지고 나타낸다는 정도로 알고 있으면 될 것이다.

 

중요한 것은 측정값으로 그린 선형 회귀 직선이 정말 직선성을 가지고 있느냐를 평가하는 것이다. '시험방법 밸리데이션 가이드'에는 다음과 같이 나와있다. 일반적으로 사용되는 지표는 상관계수이며 여기에 잔차 등의 추가적인 지표를 사용하여 보다 정확하게 직선성을 평가할 수 있다.

상관계수(correlation coefficient)는 두 변수의 방향과 선형 관계를 나타내며  1에 가까울수록 x(농도)가 증가할수록 y(측정값)가 증가하는 양의 선형 관계가 강하며 직선성을 가진다고 볼 수 있으며 0에 가까울수록 선형 관계가 약하며 직선성이 없다고 볼 수 있다. -1에 가까우면 음의 선형 관계를 나타내게 된다.

 

상관계수(r)와 함께 결정계수(r제곱)도 흔히 사용되는 지표인데 통계학적으로는 엄연히 다른 내용이지만 ‘단순 선형 회귀’에 사용하기 때문에 상관계수의 제곱이 결정계수이며 역시 1에 가까울수록 선형 관계가 강하다고 생각하면 된다. 이 지표들은 따로 가이드하는 기준은 없으나 보통 0.99 이상이 나오지 않는다면 직선성에 문제가 있다고 생각하면 된다.

 

상관계수가 1에 가까운 값이 나왔다면 잔차를 확인하여 보다 이상적인 회귀 직선임을 확인할 수 있다. 이상적인 회귀 직선은 모든 측정값이 직선 위에 있어야겠으나 실제 측정은 이론값이 나올 수 없기 때문에 당연히 회귀 직선과 차이가 생기게 된다. 이때 잔차는 회귀 직선과 측정값의 오차를 나타내는 지표이다. 잔차의 분포를 표시했을 때 이상적인 회귀 직선은 어떤 경향성을 띄면 안 되며 불규칙하게 분포(random scattering)해야 한다.

또한 회귀 직선은 측정값들을 가지고 그리기 때문에 모든 오차를 더하면 0이 나오게 된다. 이때 잔차 제곱의 합(residual sum of aquare)을 가지고 오차를 수치로 표현할 수 있다. 잔차 제곱의 합이 작을수록 이상적인 회귀 직선일 수 있으나 잔차 제곱은 측정값이 절대치가 클수록 값이 커지기 때문에 단순히 값이 크다고 직선성이 없다는 절대적인 평가 기준이라고는 할 수는 없다.

 

따라서 직선성을 확인할 때는 우선 시각적인 평가와 상관계수를 확인 후 잔차의 분포 등 추가적인 지표를 활용한다면 보다 이상적인 회귀 직선임을 평가할 수 있을 것이다.

 

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